Наибольшее и наименьшее значение функции: как найти с помощью производной

Зачем это нужно в 2027 году

До 2026 года это было отдельное задание 12 профильного ЕГЭ. В 2027 году его убрали из первой части, но само умение никуда не делось: исследовать функцию с помощью производной нужно в новом задании 17 (математическое моделирование — например, найти, при каком значении величина наибольшая), а производная по-прежнему проверяется в задании 9.

Типичная задача: дана формула функции, и нужно найти одно из трёх:

точку максимума или точку минимума (это значение $x$ );
наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке (это значение $y$ );
реже — значение функции в точке экстремума.

Для этого нужно уверенно владеть производной. Функции бывают многочлены, а также с $e^x$ , $\ln x$ , тригонометрией и корнями.

Теория

Таблица производных

Основные производные

Функция	Производная
$C$	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac1x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\operatorname{tg} x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Правила дифференцирования

(u \pm v)' = u' \pm v',\qquad (uv)' = u'v + uv',\qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2},

\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x))\cdot g'(x).

Точки экстремума

Если при переходе через точку $x_0$ производная меняет знак с «+» на «−», то $x_0$ — точка максимума. Если с «−» на «+» — точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет.

Важно

Точка максимума — это значение $x$ . Значение функции в этой точке — это $y_{\max}$ . Это разные ответы, читайте вопрос внимательно.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Алгоритм для отрезка [a; b]

Найти производную $f'(x)$ .
Решить уравнение $f'(x) = 0$ (и найти точки, где $f'$ не существует).
Оставить только точки, лежащие внутри $[a; b]$ .
Вычислить $f$ в этих точках и на концах $a$ и $b$ .
Выбрать наибольшее или наименьшее из полученных чисел.

Совет

В задачах с кратким ответом ответ почти всегда — целое число или конечная дробь. Если в одной из точек получилось что-то вроде $5\ln 5$ или $e^{-1}$ , скорее всего, ответ в другой «удобной» точке, а эту достаточно грубо оценить, чтобы сравнить.

Разбор типовых задач

Пример 1 Наименьшее значение на отрезке

Найдите наименьшее значение функции $y = x^3 - 27x + 5$ на отрезке $[0;\,4]$ .

Шаг 1. Производная: $y' = 3x^2 - 27$ .

Шаг 2. Решаем $3x^2 - 27 = 0$ : $x^2 = 9$ , $x = \pm 3$ . Отрезку $[0; 4]$ принадлежит только $x = 3$ .

Шаг 3. Считаем значения в точке $x = 3$ и на концах отрезка:

y(0) = 5,\qquad y(3) = 27 - 81 + 5 = -49,\qquad y(4) = 64 - 108 + 5 = -39.

Шаг 4. Наименьшее из чисел — $-49$ .

Ответ:

−49

Пример 2 Точка максимума

Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 48x + 17$ .

Шаг 1. $y' = 3x^2 - 48 = 3(x - 4)(x + 4)$ .

Шаг 2. Нули производной: $x = -4$ и $x = 4$ .

Шаг 3. Расставляем знаки производной на интервалах:

(-\infty; -4):\ +,\qquad (-4; 4):\ -,\qquad (4; +\infty):\ +.

Шаг 4. В точке $x = -4$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума.

Ответ:

−4

Пример 3 Функция с экспонентой

Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 8)e^{x - 7}$ на отрезке $[6;\,8]$ .

Шаг 1. По правилу производной произведения:

y' = 1 \cdot e^{x-7} + (x - 8)\,e^{x - 7} = (x - 7)\,e^{x - 7}.

Шаг 2. Так как $e^{x-7} > 0$ , производная равна нулю только при $x = 7$ . Эта точка лежит на отрезке.

Шаг 3. Знаки: при $x < 7$ производная отрицательна, при $x > 7$ — положительна. Значит, $x = 7$ — точка минимума, и на отрезке наименьшее значение достигается именно в ней:

y(7) = (7 - 8)\,e^{0} = -1.

Для сравнения: $y(6) = -2e^{-1} \approx -0{,}74$ и $y(8) = 0$ — оба больше.

Ответ:

−1

Частые ошибки

Путают точку и значение

«Найдите точку максимума» — ответ $x$ . «Найдите наибольшее значение» — ответ $y$ . Перед записью ответа ещё раз прочитайте вопрос.

Забывают про концы отрезка

Наибольшее значение на отрезке может достигаться на его конце, а не в точке экстремума. Если функция монотонна на отрезке, критических точек внутри вообще нет — ответ на одном из концов.

Берут точки вне отрезка

Корень производной $x = -3$ в примере 1 не принадлежит отрезку $[0; 4]$ , считать $y(-3)$ не нужно — иначе можно получить неверный ответ.

Ошибаются в производной сложной функции

$\left(e^{5-x}\right)' = -e^{5-x}$ , а $(\ln(x+5))' = \dfrac{1}{x+5}$ . Не забывайте умножать на производную внутренней функции.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 - 3x + 4$ на отрезке $[-2;\,0]$ .

Показать ответ

Показать решение

$y' = 3x^2 - 3 = 0$ при $x = \pm 1$ . Отрезку принадлежит $x = -1$ .

y(-2) = -8 + 6 + 4 = 2,\qquad y(-1) = -1 + 3 + 4 = 6,\qquad y(0) = 4.

Наибольшее значение — $6$ .

Задача 2

Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$ .

Показать ответ

Показать решение

$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ . Знаки: на $(-\infty; 0)$ «+», на $(0; 2)$ «−», на $(2; +\infty)$ «+».

В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума.

Задача 3

Найдите наибольшее значение функции $y = 12x - 12\operatorname{tg} x - 18$ на отрезке $\left[0;\,\dfrac{\pi}{4}\right]$ .

Показать ответ

−18

Показать решение

y' = 12 - \frac{12}{\cos^2 x} = 12\cdot\frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} \le 0.

Функция убывает на отрезке, поэтому наибольшее значение — в левом конце:

y(0) = 0 - 0 - 18 = -18.

Задача 4

Найдите наибольшее значение функции $y = \ln (x + 5)^5 - 5x$ на отрезке $[-4{,}5;\,0]$ .

Показать ответ

Показать решение

Перепишем: $y = 5\ln(x + 5) - 5x$ (на отрезке $x + 5 > 0$ ).

y' = \frac{5}{x + 5} - 5 = 0 \;\Rightarrow\; x + 5 = 1 \;\Rightarrow\; x = -4.

Слева от $-4$ производная положительна, справа — отрицательна, значит, это точка максимума:

y(-4) = 5\ln 1 + 20 = 20.

Задача 5

Найдите точку максимума функции $y = (x^2 - 10x + 10)\,e^{5 - x}$ .

Показать ответ

Показать решение

y' = (2x - 10)e^{5-x} - (x^2 - 10x + 10)e^{5-x} = -e^{5-x}\,(x^2 - 12x + 20) = -e^{5-x}(x - 2)(x - 10).

Знаки производной: на $(-\infty; 2)$ «−», на $(2; 10)$ «+», на $(10; +\infty)$ «−».

В точке $x = 10$ знак меняется с «+» на «−» — это точка максимума.

Зачем это нужно в 2027 году

Теория

Таблица производных

Точки экстремума

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Разбор типовых задач

Частые ошибки

Задачи для самостоятельного решения

По теме на сайте