Логарифмы: формулы для ЕГЭ по математике

Определение

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ :

\log_a b = c \iff a^c = b,\qquad a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0.

Например, $\log_2 8 = 3$ , потому что $2^3 = 8$ ; $\;\log_5 \dfrac{1}{25} = -2$ , потому что $5^{-2} = \dfrac1{25}$ .

Особые обозначения: $\lg b = \log_{10} b$ — десятичный логарифм, $\ln b = \log_e b$ — натуральный.

\log_a 1 = 0,\qquad \log_a a = 1,\qquad a^{\log_a b} = b,

\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c,\qquad \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c,

\log_a b^k = k\log_a b,\qquad \log_{a^m} b = \frac1m \log_a b.

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a},\qquad \log_a b = \frac{1}{\log_b a}.

Пример

Вычислите $\log_3 18 - \log_3 2$ .

\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \frac{18}{2} = \log_3 9 = 2.

Ответ:

Частая ошибка

$\log_a (b + c) \ne \log_a b + \log_a c$ . Сумма логарифмов — это логарифм произведения, а не суммы.