Производная: формулы для ЕГЭ по математике

Таблица производных

Функция	Производная
$C$ (константа)	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\dfrac1x$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\dfrac1x$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x\ln a}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\operatorname{tg} x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Правила дифференцирования

(Cu)' = Cu',\qquad (u \pm v)' = u' \pm v',\qquad (uv)' = u'v + uv',\qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Сложная функция

\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x))\cdot g'(x).

Например, $\bigl(\sin 3x\bigr)' = 3\cos 3x$ , $\;\bigl(e^{x^2}\bigr)' = 2x\,e^{x^2}$ .

Геометрический смысл

Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к оси $Ox$ :

f'(x_0) = k = \operatorname{tg}\alpha,\qquad y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \ \text{— уравнение касательной.}

Физический смысл

Если $x(t)$ — координата точки в момент времени $t$ , то $v(t) = x'(t)$ — скорость, а $a(t) = v'(t)$ — ускорение.

Производная и поведение функции

$f'(x) > 0$ на промежутке — функция возрастает;
$f'(x) < 0$ — функция убывает;
производная меняет знак с «+» на «−» — точка максимума, с «−» на «+» — точка минимума.

Подробный алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения — в статье «Наибольшее и наименьшее значение функции».