Тригонометрия: формулы для ЕГЭ по математике

Тригонометрия

Все формулы тригонометрии для ЕГЭ в одном месте — основное тождество, значения в стандартных углах, формулы приведения, двойного угла, решения простейших уравнений.

Единичная окружность

Точка единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$ , имеет координаты $(\cos\alpha;\ \sin\alpha)$ . Отсюда сразу следуют знаки: в I четверти положительны и синус, и косинус, во II — только синус, в III — только тангенс, в IV — только косинус.

Радианы и градусы

\pi = 180^\circ,\qquad 1^\circ = \frac{\pi}{180},\qquad \frac{\pi}{6} = 30^\circ,\ \ \frac{\pi}{4} = 45^\circ,\ \ \frac{\pi}{3} = 60^\circ.

Значения в стандартных углах

$\alpha$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin\alpha$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$	$0$
$\operatorname{tg}\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	—

Основные тождества

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1,\qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha = 1,

1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha},\qquad 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}.

Формулы двойного угла и сложения

\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1,

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta.

Формулы приведения

Правило «лошади»

Если в аргументе $\dfrac{\pi}{2}$ или $\dfrac{3\pi}{2}$ — функция меняется на «кофункцию» (синус ↔ косинус, тангенс ↔ котангенс). Если $\pi$ или $2\pi$ — не меняется.
Знак результата — это знак исходной функции в той четверти, куда попадает аргумент (угол $\alpha$ считаем острым).

Например, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha$ , $\;\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ .

Простейшие уравнения

\sin x = a \;\Rightarrow\; x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \qquad \cos x = a \;\Rightarrow\; x = \pm\arccos a + 2\pi n,

\operatorname{tg} x = a \;\Rightarrow\; x = \operatorname{arctg} a + \pi n,\qquad n \in \mathbb{Z}.

Частные случаи: $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$ ; $\;\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ .