Задание 7 ЕГЭ профиль по математике: простейшие уравнения

Что проверяет задание

Задание 7 — это одно простое уравнение, которое решается в 2–3 строки. Оно даёт 1 первичный балл. Типы уравнений:

линейные и квадратные, дробно-рациональные;
иррациональные (с корнем);
показательные (неизвестное в показателе степени);
логарифмические.

Если у уравнения несколько корней, в условии сказано, какой записать в ответ: меньший, больший или отрицательный. Обязательно перечитайте эту фразу перед записью ответа.

Теория

Квадратное уравнение

Формула корней

ax^2 + bx + c = 0,\qquad D = b^2 - 4ac,\qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.

По теореме Виета при $a = 1$ : $x_1 + x_2 = -b$ , $\;x_1 x_2 = c$ .

Дробно-рациональное уравнение

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Уравнение вида $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ можно решать «крест-накрест»: $AD = BC$ , но затем нужно проверить, что знаменатели не обращаются в ноль.

Иррациональное уравнение

Равносильный переход

\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g^2(x), \\ g(x) \ge 0. \end{cases}

При возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому условие $g(x) \ge 0$ (или проверка подстановкой) обязательно.

Показательное уравнение

Сводим к одному основанию

a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x),\qquad a > 0,\; a \ne 1.

Полезно помнить: $\left(\dfrac1a\right)^{x} = a^{-x}$ , $\;\sqrt{a} = a^{1/2}$ , $\;1 = a^0$ .

Логарифмическое уравнение

По определению логарифма

\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b,\qquad a > 0,\; a \ne 1.

\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) > 0. \end{cases}

Совет

Для задания 7 надёжнее всего правило: нашли корень — подставьте его в исходное уравнение. Это занимает 20 секунд и ловит почти все ошибки с ОДЗ и посторонними корнями.

Разбор типовых задач

Пример 1 Иррациональное уравнение

Найдите корень уравнения $\sqrt{15 - 2x} = 3$ .

Шаг 1. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

15 - 2x = 9.

Шаг 2. Решаем линейное уравнение: $2x = 6$ , $x = 3$ .

Шаг 3. Проверка: $\sqrt{15 - 6} = \sqrt{9} = 3$ — верно.

Ответ:

Пример 2 Показательное уравнение

Найдите корень уравнения $2^{4 - x} = 64$ .

Шаг 1. Записываем правую часть как степень двойки: $64 = 2^6$ .

2^{4 - x} = 2^6.

Шаг 2. Основания равны, значит, равны показатели:

4 - x = 6 \;\Rightarrow\; x = -2.

Ответ:

−2

Пример 3 Логарифмическое уравнение

Найдите корень уравнения $\log_3 (x - 5) = 2$ .

Шаг 1. По определению логарифма:

x - 5 = 3^2 = 9.

Шаг 2. Отсюда $x = 14$ .

Шаг 3. Проверка ОДЗ: $x - 5 = 9 > 0$ — корень подходит.

Ответ:

Частые ошибки

Не проверяют посторонние корни

В иррациональных уравнениях после возведения в квадрат часто появляется лишний корень. Например, в уравнении $\sqrt{3x + 1} = x - 1$ получаются $x = 0$ и $x = 5$ , но $x = 0$ не подходит: справа получается $-1$ , а корень не может быть отрицательным.

Забывают про ОДЗ логарифма

Выражение под логарифмом должно быть строго положительным. Если найденный корень делает его нулём или отрицательным — это не корень.

Записывают не тот корень

Условие «в ответе укажите меньший корень» легко пропустить. Выпишите оба корня, затем перечитайте вопрос.

Ошибаются со знаком при переносе

В примере $2^{4-x} = 2^6$ многие пишут $x = 2$ , перепутав знак. Проговаривайте: « $4 - x = 6$ , значит, $-x = 2$ , значит, $x = -2$ ».

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Найдите корень уравнения $3^{x - 5} = 81$ .

Показать ответ

Показать решение

$81 = 3^4$ , поэтому $x - 5 = 4$ и $x = 9$ .

Задача 2

Найдите корень уравнения $\log_2 (7 - x) = 5$ .

Показать ответ

−25

Показать решение

По определению логарифма $7 - x = 2^5 = 32$ , откуда $x = -25$ .

Проверка ОДЗ: $7 - (-25) = 32 > 0$ — подходит.

Задача 3

Решите уравнение $\sqrt{3x + 1} = x - 1$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать ответ

Показать решение

Нужно $x - 1 \ge 0$ , то есть $x \ge 1$ . Возводим в квадрат:

3x + 1 = x^2 - 2x + 1 \;\Rightarrow\; x^2 - 5x = 0 \;\Rightarrow\; x(x - 5) = 0.

Корни $x = 0$ и $x = 5$ . Условию $x \ge 1$ удовлетворяет только $x = 5$ .

Задача 4

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac17\right)^{x + 4} = 49$ .

Показать ответ

−6

Показать решение

Перейдём к основанию $7$ : $\left(\dfrac17\right)^{x+4} = 7^{-(x+4)}$ , а $49 = 7^2$ .

-(x + 4) = 2 \;\Rightarrow\; x = -6.

Задача 5

Найдите корень уравнения $\dfrac{1}{3x - 5} = \dfrac17$ .

Показать ответ

Показать решение

Дроби с равными числителями равны, когда равны знаменатели:

3x - 5 = 7 \;\Rightarrow\; x = 4.

При $x = 4$ знаменатель равен $7 \ne 0$ — корень подходит.

Что проверяет задание

Теория

Квадратное уравнение

Дробно-рациональное уравнение

Иррациональное уравнение

Показательное уравнение

Логарифмическое уравнение

Разбор типовых задач

Частые ошибки

Задачи для самостоятельного решения

Связанные темы