Задание 1 ЕГЭ профиль по математике: планиметрия

Что проверяет задание

В задании 1 дают короткую задачу по геометрии на плоскости: найти угол, длину отрезка или площадь. Чертёж обычно приложен, а для решения хватает одной-двух формул. Задание даёт 1 первичный балл, ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Чаще всего встречаются:

углы треугольника и многоугольников, равнобедренный треугольник;
прямоугольный треугольник: теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс острого угла;
параллелограмм, ромб, трапеция — углы, стороны, площади;
окружность: вписанные и центральные углы, касательные, вписанная и описанная окружности.

Теория

Треугольник

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$ . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а высота, проведённая к основанию, является и медианой, и биссектрисой.

Прямоугольный треугольник

Если $\angle C = 90^\circ$ , то $AB$ — гипотенуза, $AC$ и $BC$ — катеты.

AB^2 = AC^2 + BC^2, \qquad \sin A = \frac{BC}{AB},\quad \cos A = \frac{AC}{AB},\quad \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC}.

Медиана к гипотенузе равна её половине, поэтому центр описанной окружности — середина гипотенузы: $R = \dfrac{AB}{2}$ .

Площадь треугольника

S = \frac12 a h_a = \frac12 ab \sin\gamma = \frac{abc}{4R} = pr,

где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности, $R$ — описанной.

Четырёхугольники

Площади

Параллелограмм: $S = a h_a = ab\sin\alpha$ .
Ромб: $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$ , диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Трапеция: $S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h$ , где $a$ и $b$ — основания.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ . В трапеции то же верно для углов, прилежащих к боковой стороне.

Окружность

Углы в окружности

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB = \dfrac12 \angle AOB$ .
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Совет

Почти всегда полезно отметить на чертеже все известные углы и длины. Часто ответ видно сразу, как только появляется равнобедренный или прямоугольный треугольник.

Разбор типовых задач

Пример 1 Прямоугольный треугольник

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , $AB = 10$ , $\sin A = 0{,}6$ . Найдите $BC$ .

Шаг 1. Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Против угла $A$ лежит катет $BC$ :

\sin A = \frac{BC}{AB}.

Шаг 2. Выражаем $BC$ :

BC = AB \cdot \sin A = 10 \cdot 0{,}6 = 6.

Ответ:

Пример 2 Вписанный и центральный углы

Центральный угол на $36^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Шаг 1. Пусть вписанный угол равен $x$ . Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше: $2x$ .

Шаг 2. По условию разница равна $36^\circ$ :

2x - x = 36^\circ \;\Rightarrow\; x = 36^\circ.

Ответ:

Пример 3 Трапеция

Основания равнобедренной трапеции равны $7$ и $13$ , боковая сторона равна $5$ . Найдите площадь трапеции.

Шаг 1. Опустим высоты из концов меньшего основания. Они отрезают от большего основания два равных отрезка:

\frac{13 - 7}{2} = 3.

Шаг 2. Получился прямоугольный треугольник с гипотенузой $5$ (боковая сторона) и катетом $3$ . По теореме Пифагора высота

h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4.

Шаг 3. Площадь трапеции:

S = \frac{7 + 13}{2} \cdot 4 = 40.

Ответ:

Частые ошибки

Путают синус и косинус

Синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий. Перед подстановкой подпишите на чертеже, какой катет лежит напротив нужного угла.

Забывают делить центральный угол пополам

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, а центральный — всей дуге. Если в ответе получился угол больше $180^\circ$ для вписанного угла — где-то ошибка.

Неверно записывают ответ

В бланк пишут только число, без градусов и единиц измерения. Десятичную дробь записывают через запятую: $7{,}5$ , а не $15/2$ .

Доверяют чертежу

Чертёж в задаче не обязательно выполнен в масштабе. Угол, который «выглядит прямым», не обязательно прямой — опирайтесь только на условие.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$ , а угол $C$ равен $52^\circ$ . Найдите угол $A$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Показать решение

Треугольник равнобедренный с основанием $AB$ , значит, $\angle A = \angle B$ .

\angle A = \frac{180^\circ - 52^\circ}{2} = 64^\circ.

Задача 2

Стороны параллелограмма равны $8$ и $10$ , а один из углов равен $30^\circ$ . Найдите площадь параллелограмма.

Показать ответ

Показать решение

S = ab\sin\alpha = 8 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 80 \cdot \frac12 = 40.

Задача 3

Катеты прямоугольного треугольника равны $9$ и $12$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Показать ответ

7,5

Показать решение

Гипотенуза: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$ .

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы, поэтому $R = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ .

Задача 4

Диагонали ромба равны $12$ и $16$ . Найдите сторону ромба.

Показать ответ

Показать решение

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Получаем прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $8$ :

a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10.

Задача 5

Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $110^\circ$ . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $A$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Показать решение

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними:

\frac{110^\circ}{2} = 55^\circ.

Что проверяет задание

Теория

Треугольник

Четырёхугольники

Окружность

Разбор типовых задач

Частые ошибки

Задачи для самостоятельного решения

Связанные темы