Диагностика по математике

Вычислите: $$68 \cdot 507 - 29 \cdot 94 + 706 \cdot (4153 - 4028)$$

Вычислите: $$\dfrac{\left(3\frac12 - 1\frac23\right) \cdot 6 - 2\frac14 : \frac34}{\frac56 \cdot 3 : 1\frac14}$$

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет больше 9. Ответ округлите до сотых.

На контрольной ученик решает две задачи. Вероятность того, что он решит первую задачу, равна 0,9, а вторую — 0,7. Задачи решаются независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что ученик решит ровно одну задачу.

В школьной благотворительной лотерее 100 билетов. На 1 билет выпадает выигрыш 1000 рублей, на 5 билетов — по 200 рублей, на 20 билетов — по 50 рублей, остальные билеты без выигрыша. Найдите математическое ожидание выигрыша на один купленный билет (в рублях).

Катер прошёл 36 км по течению реки за 2 часа, а обратный путь против течения — за 3 часа. Найдите скорость течения реки (в км/ч).

Смешали 4 литра 15-процентного раствора соли и 6 литров 25-процентного раствора соли. Какова концентрация (в процентах) получившегося раствора?

Найдите значение выражения $\dfrac{24\cos 127^\circ}{\sin 37^\circ}$.

Найдите $5\sin\alpha$, если $\cos\alpha = \dfrac{2\sqrt6}{5}$ и $\alpha \in \left(\dfrac{3\pi}{2};\, 2\pi\right)$.

Решите уравнение $\cos\dfrac{\pi(x-1)}{3} = \dfrac12$. В ответе запишите наименьший положительный корень.

На рисунке изображён график функции $f(x) = a\cos x + b$. Найдите $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Найдите значение производной функции $y = 4\cos x$ в точке $x_0 = \dfrac{\pi}{2}$.

Найдите значение выражения $\log_3 54 - \log_3 2 + 5^{\log_5 4}$.

Найдите $\log_a \dfrac{a^3}{b^2}$, если $\log_a b = 4$.

Решите уравнение $\log_2(5 - x) = 3$.

На рисунке изображён график функции $f(x) = \log_2(x + b)$. Найдите $f(14)$.

Найдите значение производной функции $y = 6\ln x$ в точке $x_0 = 3$.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$. Найдите длину вектора $\vec a + 2\vec b$.

Решите неравенство $$\dfrac{(x^2 - 12x + 36)(x + 1)}{x - 4} \le 0.$$ В ответе укажите наибольшее целое решение.

Ученик решил неравенство $\dfrac{(x-2)^2}{x+3} > 0$ и получил ответ $x > -3$. Прав ли он? Если нет, объясните, в чём ошибка, и запишите правильный ответ.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 15$, $\cos B = 0{,}8$. Найдите $AC$.

Выберите верные утверждения и запишите их номера.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ тупой. Из вершины $B$ проведена высота $BH$. На каком рисунке она изображена правильно?

Задача: в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ пересекает описанную около треугольника окружность в точке $W$. Докажите, что $WB = WC$.

Решать задачу не нужно. Какая идея понадобится в первую очередь?

В цилиндрический сосуд налили воду, её уровень достиг 12 см. Воду перелили в другой цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше. На какой высоте (в см) будет находиться уровень воды во втором сосуде?

Выберите верные утверждения и запишите их номера.

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, $O$ — центр основания, $M$ — середина ребра $AB$. На каком рисунке правильно отмечен угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания?

Задача: в правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна 6, а высота равна 4. Найдите угол между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания.

Решать задачу не нужно. С чего нужно начать?

Банк предлагает взять кредит на 2 года на одну и ту же сумму под один и тот же процент, но с разными схемами погашения:

— аннуитетная: каждый месяц платишь одинаковую сумму;
— дифференцированная: каждый месяц долг уменьшается на одну и ту же сумму, а платёж постепенно уменьшается.

Объясните своими словами: 1) чем отличаются эти два способа погашения? 2) при какой схеме переплата по кредиту будет меньше и почему?